теорема виета – Просте Пояснення для Школярів

теорема виета — це простий, але дуже корисний інструмент для розв’язання квадратних рівнянь. Вона дозволяє швидко знаходити корені рівняння, не використовуючи формулу дискримінанта. Завдяки цьому можна легко перевірити правильність розв’язку або навіть обійтись без складних обчислень.

теорема виета: формулювання

теорема виета говорить: якщо квадратне рівняння має вигляд ax² + bx + c = 0, і a ≠ 0, то його корені x₁ і x₂ мають такі властивості:

• Сума коренів: x₁ + x₂ = -b/a
  
• Добуток коренів: x₁ * x₂ = c/a
  

Це означає, що знаючи коефіцієнти a, b і c, ми можемо швидко знайти зв’язок між коренями, навіть не обчислюючи їх напряму.

Як використовувати теорему Вієта на практиці

Щоб краще зрозуміти, як працює теорема виета, розглянемо приклад.

Припустимо, маємо рівняння: x² – 5x + 6 = 0
Тут: a = 1, b = -5, c = 6

Згідно з теоремою Вієта:

• Сума коренів: x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5
  
• Добуток коренів: x₁ * x₂ = 6/1 = 6
  

Очевидно, що числа 2 і 3 задовольняють ці умови:

• 2 + 3 = 5
  
• 2 * 3 = 6
  

Отже, корені рівняння — це 2 і 3. І все це без жодних формул чи дискримінантів!

Чому теорема виета така важлива

теорема виета допомагає не лише в обчисленнях. Вона також є корисною для:

• Перевірки правильності розв’язку;
  
• Побудови рівняння за заданими коренями;
  
• Розв’язання задач з параметрами;
  
• Оцінювання коренів без обчислень.
  

Таким чином, вона є потужним інструментом у математиці, який варто вивчити кожному школяру.

теорема виета і симетрія коренів

Іноді у задачах вказано, що одне число — це обернене, протилежне або квадрат іншого. Тут теорема виета також стає в пригоді.

Наприклад, якщо x₁ = -x₂, то їхня сума дорівнює нулю. Це означає, що b = 0.
Якщо x₁ = 1/x₂, то їхній добуток дорівнює 1. Отже, c = a.

Такі властивості дозволяють легко знаходити невідомі коефіцієнти.

Типові помилки при використанні теореми Вієта

Хоч теорема виета і здається простою, багато учнів роблять однакові помилки:

• Плутають знак суми: замість -b/a пишуть b/a
  
• Застосовують теорему до неповного рівняння, де a = 0
  
• Не враховують, що теорема працює лише при a ≠ 0
  

Щоб уникнути помилок, завжди перевіряйте коефіцієнти і не поспішайте.

Задачі на теорему Вієта

Задача 1:
Склади квадратне рівняння, якщо корені — числа 4 і 5.

Розв’язок:
Сума: 4 + 5 = 9 → -b/a = 9 → b = -9
Добуток: 4 * 5 = 20 → c/a = 20 → c = 20

Візьмемо a = 1 для зручності. Отримаємо рівняння:
x² – 9x + 20 = 0

Задача 2:
Один з коренів рівняння — 7, інший — невідомий. Якщо їхній добуток — 14, знайди другий корінь і рівняння.

Розв’язок:
x₁ = 7, x₁ * x₂ = 14 → x₂ = 14/7 = 2
Сума: 7 + 2 = 9, Добуток: 7 * 2 = 14
Рівняння: x² – 9x + 14 = 0

теорема виета у задачах з параметрами

У задачах з параметрами, теорема виета дуже зручна. Наприклад:

x² + (a – 2)x + a = 0

Сума коренів: -b/a = 2 – a
Добуток коренів: c/a = a

Якщо в задачі сказано, що один корінь дорівнює подвійному іншого, то можна записати рівняння і розв’язати його для a.

Це дуже економить час і спрощує логіку обчислень.

Вплив теореми Вієта на розвиток математики

Завдяки простоті і практичності, теорема виета стала базовим інструментом у шкільній програмі. Вона допомагає учням краще розуміти зв’язок між коефіцієнтами рівняння і його розв’язками.

Крім того, вона закладає фундамент для глибшого вивчення алгебри, симетрій та аналізу. Саме тому вона є обов’язковою для вивчення.

Хто такий Франсуа Вієт?

Франсуа Вієт — французький математик XVI століття, який вперше запропонував систему позначень для алгебраїчних рівнянь. Він був радником французького короля та засновником алгебраїчної символіки.

Його роботи стали фундаментом для сучасної алгебри. Саме він започаткував ідею, що символи можуть замінити конкретні числа у формулах.

Читати далі: Перевірка правопису – простий та ефективний спосіб уникнути помилок

Часті питання (FAQ) про теорему Вієта

Висновок

теорема виета — це неймовірно корисний інструмент для кожного школяра. Вона робить математику простішою та зрозумілішою. Завдяки їй, розв’язування квадратних рівнянь стає логічним і навіть цікавим. Якщо ви хочете легко проходити тести або краще готуватись до ЗНО, теорема виета обов’язково повинна бути серед ваших математичних друзів.